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系列條目微积分学
函数
极限论
微分学
积分
微积分基本定理
微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newton calculus controversy）
基础概念（含极限论和级数论）
實數性質
函数
单调性
初等函数
數列
极限
实数的构造
1=0.999…
无穷
銜尾蛇
無窮小量
ε-δ語言
实无穷（英语：Actual infinity）
大O符号
最小上界
收敛数列
芝诺悖论
柯西序列
单调收敛定理
夹挤定理
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
斯托尔兹-切萨罗定理
上极限和下极限
函數極限
渐近线
邻域
连续
連續函數
不连续点
狄利克雷函数
稠密集
一致连续
紧集
海涅-博雷尔定理
支撑集
欧几里得空间
点积
叉积
三重积
拉格朗日恒等式
等价范数
坐標系
凸集
巴拿赫不动点定理
级数
收敛级数
几何级数
调和级数
項測試
格兰迪级数
收敛半径
审敛法
柯西乘积
黎曼级数重排定理
函数项级数（英语：function series）
一致收斂
迪尼定理
數列與級數
連續
函數
一元微分
差分
均差
微分
微分的线性
导数
流数法
二阶导数
光滑函数
高阶微分
莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation）
幽灵似的消失量
介值定理
中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
求导法则
乘积法则
广义莱布尼茨定则（英语：General Leibniz rule）
除法定则
倒数定则
链式法则
洛必达法则
反函数的微分
Faà di Bruno公式（英语：Faà di Bruno's formula）
对数微分法
导数列表
导数的函数应用
单调性
切线
极值
驻点
拐点
求导检测（英语：derivative test）
凸函數
凹函數
簡森不等式
曲线的曲率
埃尔米特插值
达布定理
魏尔施特拉斯函数
一元积分
积分表
定义
不定积分
定积分
黎曼积分
达布积分
勒贝格积分
积分的线性
求积分的技巧
换元积分法
三角换元法
分部积分法
部分分式积分法
降次积分法
微元法
积分第一中值定理
积分第二中值定理
微积分基本定理
反常積分
柯西主值
積分函數
Β函数
Γ函数
古德曼函数
椭圆积分
數值積分
矩形法
梯形公式
辛普森積分法
牛顿-寇次公式
积分判别法
傅里叶级数
狄利克雷定理
周期延拓
魏尔施特拉斯逼近定理
帕塞瓦尔定理
刘维尔定理
多元微积分
偏导数
隐函数
全微分
微分的形式不变性
二阶导数的对称性
全微分
方向導數
标量场
向量場
梯度
Nabla算子
多元泰勒公式
拉格朗日乘数
黑塞矩陣
鞍點
多重积分
逐次积分
积分顺序（英语：Order of integration (calculus)）
积分估值定理
旋转体
帕普斯-古尔丁中心化旋转定理
祖暅-卡瓦列里原理
托里拆利小号
雅可比矩阵
广义多重积分
高斯积分
若尔当曲线
曲线积分
曲面积分
施瓦茨的靴（俄语：Сапог Шварца）
散度
旋度
通量
可定向性
格林公式
高斯散度定理
斯托克斯定理及其外微分形式
若尔当测度
隐函数定理
皮亚诺-希尔伯特曲线
积分变换
卷积定理
积分符号内取微分
莱布尼茨积分定则（英语：Leibniz integral rule）
多变量原函数的存在性
全微分方程
外微分的映射原像存在性
恰当形式
向量值函数
向量空间内的导数推广（英语：generalizations of the derivative）
加托导数
弗雷歇导数
矩阵的微积分（英语：matrix calculus）
弱微分
微分方程
常微分方程
柯西-利普希茨定理
皮亚诺存在性定理
分离变数法
级数展开法
积分因子
拉普拉斯算子
欧拉方法
柯西-欧拉方程
伯努利微分方程
克莱罗方程
全微分方程
线性微分方程
叠加原理
特徵方程式
朗斯基行列式
微分算子法
差分方程
拉普拉斯变换
偏微分方程
拉普拉斯方程
泊松方程
施图姆-刘维尔理论
N体问题
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相关数学家
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格林
斯托克斯
若尔当
达布
傅里叶
拉普拉斯
雅各布·伯努利
約翰·白努利
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麦克劳林
迪尼
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费马
达朗贝尔
黑维塞
吉布斯
奥斯特罗格拉德斯基
刘维尔
棣莫弗
格雷果里
玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama）
婆什迦羅第二
阿涅西
阿基米德
历史名作
从无穷小量分析来理解曲线（英语：Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes）
分析学教程（英语：Cours d'Analyse）
无穷小分析引论
用无穷级数做数学分析（英语：De analysi per aequationes numero terminorum infinitas）
流形上的微积分（英语：Calculus on Manifolds (book)）
微积分学教程
纯数学教程（英语：A Course of Pure Mathematics）
机械原理方法论（英语：The Method of Mechanical Theorems）
分支学科
实变函数论
複分析
傅里叶分析
变分法
特殊函数
动力系统
微分几何
微分代数
向量分析
分数微积分
玛里亚温微积分（英语：Malliavin calculus）
随机分析
最优化
非标准分析
查论编
关于与「极限 (数学)」標題相近或相同的条目，請見「极限」。
极限（英語：limit）是函数在自變量無限變大或無限變小或在某個區間時所接近的值[1]，也是數學分析或微積分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。
函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。
概念[编辑]
数列极限[编辑]
主条目：数列极限
以数列
a
n
=
1
n
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}
为例，直觀上随着n的增大，
a
n
{\displaystyle a_{n}}
越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的“极限”。以下的嚴格定義來自於柯西：
设
{
a
n
∈
R
}
n
∈
N
{\displaystyle \{a_{n}\in \mathbb {R} \}_{n\in \mathbb {N} }}
，若對任意
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
，存在
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
，使得当
n
>
m
{\displaystyle n>m}
时，有
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
{\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon }
以邏輯符号来表示即為
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
m
∈
N
)
(
∀
n
∈
N
)
[
(
n
>
m
)
⇒
(
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
)
]
{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists m\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )[\,(n>m)\Rightarrow (|a_{n}-a|<\epsilon )\,]}
则称数列
{
a
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
收敛于
a
{\displaystyle a}
，记作
lim
n
→
∞
a
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}
或
a
n
→
a
{\displaystyle a_{n}\rightarrow a}
。這時也稱這個數列是收斂的，反之稱為發散。可以證明極限是唯一的，也就是
[
(
a
n
→
a
)
∧
(
a
n
→
a
′
)
]
⇒
(
a
=
a
′
)
{\displaystyle [\,(a_{n}\to a)\wedge (a_{n}\to a^{\prime })\,]\Rightarrow (a=a^{\prime })}
直觀地说，不論把“差距範圍”
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
取得多小，從某項往后
a
n
{\displaystyle a_{n}}
跟
a
{\displaystyle a}
的距離都會比
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
小。
函数极限[编辑]
主条目：函數極限
考慮定義域為
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
，對應規則為
f
(
x
)
=
x
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}
的函數在
x
{\displaystyle x}
趋向
2
{\displaystyle 2}
的时候的性质。此時
f
{\displaystyle f}
於
2
{\displaystyle 2}
是有定义的。
f(1.9)
f(1.899)
f(1.999)
f(2)
f(2.001)
f(2.01)
f(2.1)
0.4121
0.4012
0.4001
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
0.4
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
0.3998
0.3988
0.3882
当
x
{\displaystyle x}
趋向
2
{\displaystyle 2}
的时候，函数值似乎趋向
0.4
{\displaystyle 0.4}
，因此我们有“极限”
0.4
{\displaystyle 0.4}
，正好就是
f
(
2
)
{\displaystyle f(2)}
，這種情況我們稱為在
x
=
2
{\displaystyle x=2}
“連續”。
但有時趨近的“極限”不會是那個函數值，考虑定義域為
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
，對應規則為
g
(
x
)
=
{
x
x
2
+
1
,
x
≠
2
0
,
x
=
2
{\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\dfrac {x}{x^{2}+1}},&x\neq 2\\0,&x=2\end{cases}}}
的函數，那么当
x
{\displaystyle x}
趋于
2
{\displaystyle 2}
的时候，
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
的极限似乎与前面的
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
相同都是
0.4
{\displaystyle 0.4}
。但
g
(
2
)
≠
0.4
{\displaystyle g(2)\neq 0.4}
，这就是说，
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
在
x
=
2
{\displaystyle x=2}
不连续。
有時趨近的點甚至不在定義域裡（也就是無定義），考慮到算式（本質上是一階邏輯中的項，所以下面以冒號來代表符號辨識上的定義，而非“數字”意義上的相等）
T
:
x
−
1
x
−
1
{\displaystyle T:{\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}
当
x
=
1
{\displaystyle x=1}
时，算式
T
{\displaystyle T}
等於零除以零而没有定义。但以
T
{\displaystyle T}
有定義的最大定義域
R
−
{
1
}
{\displaystyle \mathbb {R} -\{1\}}
（去除
1
{\displaystyle 1}
的實數系）， 跟對應規則
f
(
x
)
=
T
{\displaystyle f(x)=T}
來定義的函數
f
{\displaystyle f}
， 趨近於
1
{\displaystyle 1}
的“极限”似乎是
2
{\displaystyle 2}
f(0.9)
f(0.99)
f(0.999)
f(1.0)
f(1.001)
f(1.01)
f(1.1)
1.95
1.99
1.999
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
未定义
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
2.001
2.010
2.10
实函数在有限处的极限[编辑]
若
f
{\displaystyle f}
是一个实函数（也就是定义域和值域都包含於實數系），
L
∈
R
{\displaystyle L\in \mathbb {R} }
，那么
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
用ε-δ語言定義為：對所有的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon \ >0}
，都存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta \ >0}
使得：對任意
x
∈
D
f
{\displaystyle x\in D_{f}}
满足
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \ }
时會有
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \ }
。以邏輯符号来表示即為
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
δ
>
0
)
(
∀
x
∈
D
f
)
[
(
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
)
⇒
(
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
)
]
{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(0<|x-c|<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<\epsilon )\,]}
实函数在无穷远处的极限[编辑]
与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为：
x
{\displaystyle x}
距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。因此，我们用
x
{\displaystyle x}
越来越大（当讨论正无穷时）来替代。
例如考虑
f
(
x
)
=
2
x
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}
.
f
(
100
)
=
1.9802
{\displaystyle f(100)=1.9802}
f
(
1000
)
=
1.9980
{\displaystyle f(1000)=1.9980}
f
(
10000
)
=
1.9998
{\displaystyle f(10000)=1.9998}
当
x
{\displaystyle x}
非常大的时候，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的值会趋于
2
{\displaystyle 2}
。事实上，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
与
2
{\displaystyle 2}
之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的
x
{\displaystyle x}
就可以了。此时，我们称
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
趋向于（正）无穷时的极限是
2
{\displaystyle 2}
。可以写为
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
2
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}
形式上，我们可以定义：
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}
為
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
δ
>
0
)
(
∀
x
∈
D
f
)
[
(
δ
<
x
)
⇒
(
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
)
]
{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\delta 类似地，我们也可以定义： lim x → − ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L} 為 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ < 0 ) ( ∀ x ∈ D f ) [ ( x < δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(x<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<\epsilon )\,]} 符号[编辑] 极限的符号为lim，它出自拉丁文limit（界限）的前三个字母。 在1786年出版的德国人浏伊连（S. L'Huilier）的书中，第一次使用这个符号。不过，“x趋于a”当时都记作“x=a”，直到20世纪人们才逐渐用“→”替代“=”。 英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。 性质[编辑] lim n → c S ⋅ f ( n ) = S ⋅ lim n → c f ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to c}S\cdot f(n)=S\cdot \lim _{n\to c}f(n)} ，这里S是个內积算法。 lim n → c b f ( n ) = b lim n → c f ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to c}b{f(n)}=b\,{\lim _{n\to c}f(n)}} ，这里b是常量。 以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无限时才成立： lim n → c [ f ( n ) + g ( n ) ] = lim n → c f ( n ) + lim n → c g ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to c}[f(n)+g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)+\lim _{n\to c}g(n)} lim n → c [ f ( n ) − g ( n ) ] = lim n → c f ( n ) − lim n → c g ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to c}[f(n)-g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)-\lim _{n\to c}g(n)} lim n → c [ f ( n ) ⋅ g ( n ) ] = lim n → c f ( n ) ⋅ lim n → c g ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to c}[f(n)\cdot g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)\cdot \lim _{n\to c}g(n)} lim n → c f ( n ) g ( n ) = lim n → c f ( n ) lim n → c g ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to c}{\frac {f(n)}{g(n)}}={\frac {\displaystyle \lim _{n\to c}f(n)}{\displaystyle \lim _{n\to c}g(n)}}} 推广[编辑] 拓扑网[编辑] 主条目：网 (数学) 在引入网的概念下，上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间。事实上，现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的，上述的例子都是拓扑空间的具体化。 范畴论[编辑] 主条目：极限 (范畴论) 范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。范畴论极限分为极限与余极限（又称上极限），彼此的定义相对偶。 外部連結[编辑] 埃里克·韦斯坦因. Limit. MathWorld. Mathwords: Limit （页面存档备份，存于互联网档案馆） 规范控制数据库：各地 德国 日本 ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. 圣智学习. 2008. ISBN 978-0-495-01166-8. 含有內容需登入查看的頁面 (link)
黄泉是什么地方